ANNAMORI
Answered

Bonjour!
Je recherche de l'aide auprès de vous car un blocage pour cette exercice :
Soit f la fonction définie sur R+ par f(x)=(3x-1)/(x+1)
Partie I
On me demande donc: 1)Etudier le sens de variation de f (on derive la fonction) puis celui de (Un)(je n'y arrive pas).
2)Conjecturer une limite éventuelle de (Un).
3)a) Demontrer que pour n  0,Un=(3-4)/(n+1).
b)A partir de quel entier n a-t-on 2,999<Un<3 ?
Partie II
1)Conjecturer le comportement de cette suite.
2)On admet que pour tout n,vn >1 et on N 0 Wn= Vn+1/Vn-1 pour tout n 0.
a) Prouver que la suite (Wn) est arithmétique.
Je vais m'arrêter à la car l'exercice est assez long.
Je vous remercie de bien vouloir m'aider.

Sagot :

Partie 1

1) [tex]f'(x)=\frac {4} {(x+1)^2}>0[/tex] donc f est croissante sur [tex]\mathbb{R}^"+"[/tex]

[tex]u_n=f(n)[/tex] donc la suite [tex](u_n)[/tex] est croissante

 

2) Conjecture [tex]lim(u_n)=3[/tex]

 

3) [tex]u_n=f(n)=\frac {3n-1} {n+1}=\frac {3n+3-4} {n+1}=3-\frac {4} {n+1}[/tex]

[tex]u_n>2,999 \Rightarrow n>3999[/tex]

 

Partie 2

bientôt...