Answered

On injecte une certaine dose d'un médicament dans le sang d'un patient par intraveineuse.
On suppose que le médicament se répartit instantanément dans le sang et que sa concentration initiale est égale à 75 mg. L-1.
On admet que le corps élimine chaque heure 20% du médicament.
On considère la suite (Cn), où Cn désigne la concentration en mg. L' de médicament dans le sang lorsque n heures se sont écoulées depuis l'injection (n étant un entier naturel).
On ainsi Co = 75.

1. Calculer C1 et C2.

2. Montrer que la suite (Cn) est géométrique, en précisant sa raison et son premier terme.

3. Pour calculer à chaque heure la concentration de médicament présente dans le sang, on utilise un tableur. Quelle formule à recopier vers le bas faut-il saisir dans la cellule B3 afin d'obtenir les premières valeurs de la suite (Cn) ?

4. Exprimer Cn en fonction de n. En déduire la concentration de médicament dans le sang au bout de 14 heures. Arrondir à 0,01.

5. Calculer le taux d'évolution de la concentration de médicament entre 0 et 5 heures après le
début de l'injection.

Sagot :

TEAMCE

Bonjour, n'oublie pas d'ajouter une formule de politesse la prochaine fois que tu postes un devoir.

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Suite géométrique

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Bien que cet exercice puisse faire peur de par sa longueur, je vais te montrer que sa résolution n'est pas si complexe qu'il n'y paraît.

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(1)

[tex] \sf \blue{ C_1} = 20 \% \: de \: moins \: que \: \red{ C_0} \\ \sf \Longleftrightarrow \blue{C_1} = (1 - \dfrac{20}{100} ) \times \red{C_0} \\ \\ \Longleftrightarrow \sf \blue{C_1} = 0.8 \times \red{C_0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf\: \blue{C_1} = 0.8 \times \red{75} = \blue{ \boxed{ \sf60}}[/tex]

[tex] \\ [/tex]

[tex] \sf \green{ C_2} = 20 \% \: de \: moins \: que \: \blue{ C_1} \\ \sf \Longleftrightarrow \green{C_2} = (1 - \dfrac{20}{100} ) \times \blue{C_1} \\ \\ \Longleftrightarrow \sf \green{C_2} = 0.8 \times \blue{C_1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf\: \green{C_2} = 0.8 \times \blue{60} = \green{ \boxed{ \sf48 }} [/tex]

[tex] \\ [/tex]

(2) Ici, rien ne sert de chercher compliqué, la réponse est plus qu'évident.

[tex] \sf On \: a \: remarqu\acute{e} \: que: \\ \sf C_{n+1} = \orange{0,8} \times C_n \\ \sf Elle \: est \: bien \: sous \: la \: forme \: \\ \sf U_{n+1} = \orange{q} \times U_n \\ \\ \implies \sf C_n \: est \: une \: suite \: g\acute{e}om\acute{e}trique \: de \: raison \: \orange{q=0,8} \\ \sf \: et \: de \: terme \: de \: premier \: rang \: \red{C_0 = 75}. [/tex]

[tex] \\ [/tex]

(3) Dans la case B3, on écrit la formule suivante:

[tex] \sf = 0.8 \times B_2[/tex]

Si on étant cette formule vers le bas, on aura:

[tex] \sf B_4= 0.8 \times B_3 \\ \sf B_5 = 0.8 \times B_4 [/tex]

Et ainsi de suite.

Je t'ajoute en PJ le tableur que j'ai fait.

[tex] \\ [/tex]

(4)

Le terme général d'une suite géométrique de terme de premier rang [tex] \sf U_0 [/tex] est donné par la formule suivante:

[tex]\sf U_n = \red{U_0} \times \orange{q}^{n}[/tex]

Nous avons donc:

[tex] \sf C_n = \red{C_0} \times \orange{q}^{n} = \boxed{ \sf \red{75} \times \orange{0,8}^{n} }[/tex]

[tex] \\ [/tex]

Pour déterminer la concentration dans le sang du médicament au bout de 14 heures, on prend n = 14:

[tex]\sf C_{14}= \red{C_0} \times \orange{0.8}^{14} \approx \sf 3.2985 \\ \\ \boxed{ \sf C_{14} \approx 3.30}[/tex]

⇒La concentration du médicament dans le sang au bout de 14 heures est d'environ 3,30 mg.L-1.

[tex] \\ [/tex]

(5) Le taux d'évolution de la concentration de médicament entre 0 et 5 heures après l'injection est donné par la formule qui suit:

[tex] \lvert \sf \dfrac{C_5 \ - \red{C_0}}{ \red{C_0}} \rvert \times 100 \\ \\ = \sf \: \lvert \sf \dfrac{24.576 - \red{75}}{ \red{75}} \rvert \times 100 \\ \\ \boxed{\sf = 66.992 \% \approx 67 \%} [/tex]

[tex] \\ \\ [/tex]

Bonne journée.

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