Bonsoir,
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Théorème de Pythagore et sa réciproque
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(a) ABC est un triangle rectangle en A tel que:
AC = 13cm et AB = 14cm
D'après le théorème de Pythagore, on a:
[tex]\sf BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} \\ \Longleftrightarrow \sf BC^{2} = {13}^{2} + {14}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf BC^{2} = 365 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf BC = \sqrt{365} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \sf BC = \sqrt{365 \:} cm \approx19.1cm}[/tex]
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(b) BED est un triangle rectangle en D tel que:
BD = 20cm et DE = 18cm
D'après le théorème de Pythagore, on a:
[tex]\sf BE^{2} = BD^{2} + DE^{2} \\ \Longleftrightarrow \sf BE^{2} = {20}^{2} + {18}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf BE^{2} = 724 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf BE = \sqrt{724} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf BE = \sqrt{4 \times 181} = 2 \sqrt{181} \\ \\ \boxed{\sf BE =2 \sqrt{181 \: } cm \approx 26.9cm}[/tex]
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(c) D'après la réciproque du théorème de Pythagore, si un un triangle est rectangle alors le carré de son hypoténuse est égale à la somme des carrés de ses deux autres longueurs.
Voici les mesures du triangle BCE:
[tex] \sf BC = \sqrt{365 \:} cm \: ; \: BE =2 \sqrt{181 \: } cm \: ; \: CE = 33cm[/tex]
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Nous avons CE, l'hypothénuse :
[tex] \green{ \star} \: \sf CE^{2} = {33}^{2} = \boxed{ \sf1089 }[/tex]
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Puis BC et BE, les deux autres longueurs :
[tex] \green{ \star} \: \sf BC^{2} + BE^{2} = 365+ 724 = \boxed{ \sf1089}[/tex]
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BC² + BE² = CE²
⇒Le triangle BCE est rectangle en B d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
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▪️Si tu souhaites en apprendre plus sur le théorème de Pythagore, je te conseille de consulter les liens suivants :
↣https://nosdevoirs.fr/devoir/5459553
↣https://nosdevoirs.fr/devoir/5041663
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Bonne soirée.
