Tapis de Serpinski: Un carré de 1 m² est partagé en 9 carrés de même aire comme indiqué sur la figure ci-dessous.On colorie le carré central. Chacun des 8 carrés restants sont à leur tour partagés en 9 carrés identiques comme
indiqué sur la figure ci-contre. On colorie les huit carrés centraux.
On poursuit avec la même méthode le partage et le coloriage du carré.
On note An,la surface non coloriée à l'étape n.

1)Calculer A0, A1, A2 en mettant bien en évidence le mécanisme qui vous permet de passer d'un terme au suivant.
2)Exprimer An+1 en fonction de An. Démontrer le résultat évident concernant la monotonie de la suite.
3)A l'aide de la calculatrice, conjecturer la valeur de laquelle se rapproche An ,lorsque n devient très grand. Que peut-on en
déduire ?