Bonjour,
1.a.
[tex]z_A=1, ~z_B=1+i, ~z_C=-1+i\\\\f(z_B)=\dfrac{i(1+i)+2}{1+i-i}=i-1+2=1+i=z_B\\\\f(z_C)=\dfrac{i(-1+i)+2}{-1+i-i}=-(-i-1+2)=-1+i=z_C[/tex]
B et C sont invariants par f
b.
pour z différent de i
[tex]z' =\dfrac{iz+2}{z-i} \Leftrightarrow z'(z-i)=iz+2\\\\\Leftrightarrow z'(z-i)=iz+1+1=iz-i^2+1=i(z-i)+1\\\\\Leftrightarrow z'(z-i)-i(z-i)=1\\\\\Leftrightarrow (z'-i)(z-i)=1[/tex]
c.
le vecteur AB a pour affixe 1
le vecteur AD a pour affixe z-i
le vecteur AD' a pour affixe z'-i
l 'angle (AB, AD) est 45 degrés
l'angle (AD', AB) est 45 degrés aussi car (z'-i)(z-i)=1
donc le triangle DAD' est rectangle en A, et la distance AD'=1\AD=1\|z-i|=1\V(2)=V(2)/2
donc D' est le centre des diagonales du carré unité.
D' a pour affixe 1/2+i/2
2.
avec le résultat de la question 1.b.
C'est le cercle de centre A et de rayon 1/r
Car un point M d'affixe z est sur le cercle de centre A et de rayon r, veut dire que |z-i|=r
or (z'-i)(z-i)=1 donc |z'-i|=1\r
d'où le résultat.
3. a
Si l'affixe z de M est un imaginaire pur, cela veut dire que
[tex]z=ki[/tex] avec k un réel différent de 1 pour éviter de diviser par 0
alors
[tex]z'=\dfrac{-k+2}{(k-1)i}=\dfrac{(k-2)i}{k-1}[/tex]
c'est donc un imaginaire pur
et l' image de l'axe des ordonnées privé de A est l'axe des ordonnées privé de A
b. Comme le produit (z'-i)(z-i)=1, avec M sur la droite passant par A et de vectuer directeur u, les vecteurs AM et AB sont colinéaires donc les vecteurs AM'et AB sont colinéaires. Ainsi l'image recherchée est la même droite privée de A.
Merci
