Terminales Complémentaires : Révision Vacances de Noël
Exercice 1
Le responsable d'un aquarium public constate qu'en l'absence d'action
particulière, la population d'une espèce de poisson augmente de 20% par an.
Pour démarrer un nouveau bassin, il décide de prélever 28 poissons à la fin de
chaque année. La situation est modélisée par une suite (U.) de terme initial U.
= 150, le terme U, donnant une estimation du nombre de poissons au 1"
janvier de l'année 2020+n.
1. Que représente U₁? Calculer U, et U₂
2.
Justifier que, pour tout entier naturel n, U... = 1,2U.-28.
3. On définit la suite (W.) par W, = U₂ - 140 pour tout entier naturel n.
a) Montrer que (W.) est une suite géométrique de raison 1,2. Préciser
son terme initial.
b) Exprimer, pour tout entier naturel n, W, en fonction de n.
En déduire U, en fonction de n.
4. On admet que U..1-U₂=2x1,2".
a) En déduire le sens de variation de (U.).
b) Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
5. Sachant que l'aquarium ne peut contenir plus de 200 poissons,
déterminer en quelle année le responsable doit prévoir l'achat d'un
nouveau bassin.
Exercice 2
Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels
chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un
train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l'aller et
le retour. À l'aller, le bateau est choisi dans 65% des cas.
Lorsque le bateau est choisi à l'aller, il l'est également pour le retour 9 fois
sur 10.
Lorsque le train a été choisi à l'aller, le bateau est préféré pour le retour
dans 70% des cas.
On interroge au hasard un client. On considère les événements suivants
A: "le client choisit de faire l'aller en bateau":
• R: "le client choisit de faire le retour en bateau".
On rappelle que si E est un événement, p(E) désigne la probabilité de
l'événement E et on note E-l'événement contraire de E.
1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.
2.
On choisit au hasard un client de l'agence.
a Calculer la probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau.
b. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de
transport est égale à 0,31.
3. On choisit au hasard 20 clients de cette agence.
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui
utilisent les deux moyens de transport.
On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l'on
puisse considérer que X suit une loi binomiale.
a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
b. Déterminer la probabilité qu'exactement 12 clients utilisent les
deux moyens de transport différents.
c. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 2 clients qui utilisent
les deux moyens de transport différents.
4. Le coût d'un trajet aller ou d'un trajet retour est de 1 560 € en bateau;
il est de 1 200 € en train.
On note Y la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le
coût en euro de son trajet aller-retour.
a. Déterminer la loi de probabilité de Y.
b. Calculer l'espérance mathématique de Y. Interpréter le résultat.