Bonsoir, voici la réponse à ton exercice :
On rappelle les dérivées nécessaires pour cet exercice :
[tex]\begin{cases}\left(kx^{\alpha }\right)'\:=\:\alpha \:kx^{\alpha \:-\:1}&\\ \left(3x^3\right)'\:=\:3\:\cdot \:3x^2\:=\:9x^2&\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}\left(\frac{1}{x}\right)'\:=\:-\:\frac{1}{x^2}&\\ \left(\frac{1}{3x^3}\right)'\:=\:-\frac{1}{3x^6}&\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}\left(kx\right)'\:=\:k&\left(k\right)'\:=\:0\\ \left(2x\right)'\:=\:2&\left(7\right)'\:=\:0\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}\left(\frac{u}{v}\right)'\:=\:\frac{u'v\:-\:uv'}{v^2}&\\ Flemme&\end{cases}[/tex]
1. La fonction [tex]f[/tex] est dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex] comme fonction polynômiale. On a donc, pour [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] :
[tex]f'(x) = -4x + 3[/tex]
2. La fonction [tex]S[/tex] est dérivable sur :
[tex]I = ] - \infty ; 0 [ \cup ] 0 ; 5 [ \cup ] 5 ; + \infty [[/tex]
On a donc, pour [tex]x \in I[/tex] :
[tex]S'(x) = - \frac{1}{(- x^3 + 5x^2)^2}[/tex]
[tex]= - \frac{1}{x^6 - 10x^5 + 25x^4}[/tex]
3. La fonction [tex]f[/tex] est dérivable sur [tex]\mathbb{R}^*[/tex]. On a donc, pour [tex]x \in \mathbb{R}^*[/tex] :
[tex]f'(x) = \frac{1}{16x^2} - 7[/tex]
4. La fonction [tex]f[/tex] est dérivable sur :
[tex]I = ] - \infty ; \frac{1}{9} [ \cup ] \frac{1}{9} ; + \infty [[/tex]
On a donc, pour [tex]x \in I[/tex] :
[tex]f'(x) = \frac{(3x^2 + 2x)'(-9x^3 + x^2) - (3x^2 + 2x)(-9x^3 + x^2)'}{(x^2 - 9x^3)^2}[/tex]
[tex]= \frac{(6x + 2)(x^2 - 9x^3) - (3x^2 + 2x)(2x - 27x^2)}{x^4 - 18x^5 + 91x^6}[/tex]
[tex]= \frac{27x^2+36x-2}{x^2\left(1-18x+91x^2\right)}[/tex]
En espérant t'avoir aidé au maximum !
