88 Soit fla fonction définie sur [-6; 8] par
f(x)= 1/4x2 - 1/2x -2
Soit P sa courbe représentative dans un repère orthonormé
(0,i,j) du plan.
1. Étudier les variations de f sur [-6;8].
Justifier que la parabole Padmet une tangente << horizon-
tale >> D au point d'abscisse 1.
2. a) Déterminer l'équation de la tangente Tà P au point A
d'abscisse-2.
b) Étudier la position relative de T et P.

Question

Answered

Sagot :

MOZI MOZI · Answer 1 · 2022-12-07T16:01:48+01:00

Bonjour,

f(x) = 1/4 x² - 1/2 x - 2 = (x² - 2x - 8) / 4 = ((x - 1)² - 3²) / 4 = (x + 2) (x - 4) / 4

f est continue et dérivable sur son domaine de définition (fonction polynôme)

1) f'(x) = 1/2 x - 1/2 = (x - 1) / 2

x | -6 -2 1 4 8 |

f'(x) | - | - 0 + | + |

f(x) | 10 Déc 0 Déc -9/4 Croi 0 Croi 10|

Puisque f'(1) = 0, (P) admet une tangente horizontale (D) au point (1 ; -9/4)

2.a) f'(-2) = -3/2 ; f(-2) = 0

(TA) : y - f(-2) = f'(-2) (x + 2)

(TA) : y = -3/2 (x + 2)

(TA) : y = -3/2 x - 3

f(x) - (-3/2 x - 3) = 1/4 x² - 1/2 x - 2 + 3/2 x + 3

⇔ f(x) - (-3/2 x - 3) = 1/4 x² + x + 1

⇔ f(x) - (-3/2 x - 3) = (x² + 4x + 4) / 4

⇔ f(x) - (-3/2 x - 3) = ( x+ 2)² / 4

(P) est donc située au dessus de sa tangente et la coupe en un point unique (A).