Les unités physiques utilisées sont le mètre (m), le kilogramme
(kg) et la seconde (s).
Un mobile de masse 16 kg, guidé rectilignement sur un banc
à coussin d'air, est attaché à un ressort dont la constante de
raideur k est égale à 1. Si on écarte le centre d'inertie G du
solide de sa position d'équilibre O, alors G effectue des oscil-
lations autour de celle-ci.
À l'instant t, la position de G est repérée par le point M d'abs-
, comme indiqué sur le schéma
cisse f(1) dans le repère (0:1),
ci-dessous.

On suppose qu'à l'instant = 0, le mobile est au point d'abs-
cisse f(0) 0,5 m. On admet quefdésigne une fonction déri-
vable sur R et que sa dérivée f' est définie par :
f'(1) = -√2 sin((1-7)
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1. Calculer f'(0), c'est-à-dire l'abscisse dans le repère (0)
du vecteur vitesse instantanée du mobile à l'instant t = 0.
2. On rappelle que la dérivée de f' représente l'abscisse dans
le repère (0:1) du vecteur accélération du mobile.
Vérifier que l'abscisse du vecteur accélération du mobile à l'ins-
tant t= 0 est égale à -0,031 25.
3. a. Déterminer & tel que pour tout réel t,
S'(1) = 2 × (-1) sin ( 1 (² - x)).
2x
b. Déterminer l'ensemble des primitives sur R de la fonction f'.
On donnera l'expression de ces primitives en fonction du réel t.
c. En déduire, pour tout réel t, l'expression de f(t).
4. a. Résoudre dans R l'équation cos
(t-π) = 0.