Bonjour,
√(n + √(n + 7)) est un entier si et seulement si n+7 et n + √(n + 7) sont des carrés parfaits.
Ce qui équivaut à :
Il existe deux entiers a et b tels que
n + 7 = a² et n + a = b²
⇔ b² - a + 7 = a² et n = b² - a
⇔ b² = a² + a - 7 et n = b² - a
⇔ 4b² = 4a² + 4a + 1 - 1 -28 et n = b² - a
⇔ 4b² = (2a + 1)² - 29 et n = b² - a
⇔ (2a + 1)² - 4b² = 29 et n = b² - a
⇔ (2a + 1 - 2b) (2a + 1 + 2b) = 29 et n = b² - a (puisque 29 est un nombre premier. Ses seuls diviseurs sont 1 et 29)
⇔ a = b et 4a = 28 et n = a² - a
⇔ a = b = 7 et n = a² - a = 49 - 7 = 42
D'où n = 42
Réponse :
Explications étape par étape :
■ Bonjour !
■ il faut que ( n + 7 ) soit un carré parfait
la liste des carrés parfaits est { 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; ... }
donc n appartient à cet ensemble : { 2 ; 9 ; 18 ; 29 ; 42 ; 57 ; 74 , ... }
■ essais :
n --> 2 9 18 29 42 57
√(n+7) -> 3 4 5 6 7 8
√[n+√(n+7)] -> √5 √13 √23 √35 √49 √65
↓
7
■ conclusion : n = 42 .