Bonjour,
√(n + √(n + 7)) est un entier si et seulement si n+7 et n + √(n + 7) sont des carrés parfaits.
Ce qui équivaut à :
Il existe deux entiers a et b tels que
n + 7 = a² et n + a = b²
⇔ b² - a + 7 = a² et n = b² - a
⇔ b² = a² + a - 7 et n = b² - a
⇔ 4b² = 4a² + 4a + 1 - 1 -28 et n = b² - a
⇔ 4b² = (2a + 1)² - 29 et n = b² - a
⇔ (2a + 1)² - 4b² = 29 et n = b² - a
⇔ (2a + 1 - 2b) (2a + 1 + 2b) = 29 et n = b² - a (puisque 29 est un nombre premier. Ses seuls diviseurs sont 1 et 29)
⇔ a = b et 4a = 28 et n = a² - a
⇔ a = b = 7 et n = a² - a = 49 - 7 = 42
D'où n = 42
