Bonjour,
Comme les deux courbes correspondent à des portions de paraboles, les fonctions f₁ et f₂ sont donc des polynômes de second degré.
On les note f₁(x) = a₁ x² + b₁ x + c₁ et f₂(x) = a₂ x² + b₂ x + c₂
On a f₁'(x) = 2a₁ x + b₁ et f₂'(x) = 2a₂ x + b₂
On a :
f₁(0) = 1 ⇔ c₁ = 1
f₁'(0) = 0 ⇔ b₁ = 0
f₁(1) = ½ ⇔ a₁ + b₁ + c₁ = ½ ⇔ a₁ = -½
On en déduit que f₁(x) = - ½ x² + 1
Et on a :
f₁'(1) = f₂'(1) ⇔ 2a₂ + b₂ = 2a₁ + b₁ ⇔ 2a₂ + b₂ = -1
f₂'(2) = 0 ⇔ 4a₂ + b₂ = 0
Des deux égalités précédentes, on déduit que
(4a₂ + b₂) - (2a₂ + b₂) = 0 - (-1) ⇔ 2a₂ = 1 ⇔ a₂ = ½
et que b₂ = -4a₂ = -2
f₂(2) = 0 ⇔ 4a₂ + 2b₂ + c₂ = 0
⇔ c₂ = -4a₂ - 2b₂ = -2 + 4 = 2
Soit f₂(x) = ½ x² - 2x + 2
