Poursuivi par la marine royale, un groupe de pirates des Caraïbes a caché un trésor dans une île. Sur
cette île, il y a un arbre mort (noté A), un palmier (noté P) et un vieux baril de poudre (noté B).
La distance entre l'arbre et le baril de poudre est de 60m, et le palmier se trouve sur le chemin
reliant ces deux points, à 10m du Baril. Ce chemin est orienté de l'Ouest vers l'Est.
Le chef des pirates a noté sur un parchemin une façon de découvrir le trésor :
Le Trésor est deux fois plus loin de l'arbre
mort que du baril de poudre. Il est à égale
distance du palmier et du baril et il est au
nord du chemin reliant l'arbre mort au baril.
On se propose de découvrir l'emplacement exact du trésor. Pour cela, on se place dans un repère
orthonormé d'origine A et tel que le point B ait pour coordonnées (60; 0).
1- Tracer un tel repère et placer les points et autres objets géométriques décrits au fil du
devoir.
2- Quelles sont les coordonnées du point P dans ce repère ?
3- Quel est l'ensemble des points situés à égale distance des points P et B? Tracer cet
ensemble, que l'on notera A, dans le repère que vous avez tracé en question 1.
4- Quelle est la valeur de l'abscisse des points situés sur A?
On note T le point représentant l'emplacement du trésor.
5- Expliquer pourquoi on a : TA² = 4TB²
6- En déduire que si l'on note (x; y) les coordonnées inconnues du trésor, alors on a :
x² + y² - 160x + 4800 = 0
7- Déterminer les coordonnées exactes du trésor.