Bonjour,
1) On calcule les termes [tex]u_{2}[/tex] et [tex]u_{3}[/tex], exprimés en euros, de la suite [tex](u_{n})[/tex] :
[tex]u_{2}=u_{1}\times (1+\frac{5}{100})=u_{1}\times (1+0,05)=u_{1}\times 1,05 =1 \ 200\times 1,05=1 \ 260[/tex]
[tex]u_{3}=u_{2}\times (1+\frac{5}{100})=u_{2}\times (1+0,05)=u_{2}\times 1,05 =1 \ 260\times 1,05=1 \ 323[/tex]
2) D'après les calculs effectués précédemment et les données de l'énoncé, on détermine la relation de récurrence de la suite [tex](u_{n})[/tex] :
[tex]\forall \ n \in \mathbb{R}[/tex], on a : [tex]u_{n+1}=1,05u_{n}[/tex]
Il s'agit donc d'une suite géométrique de raison [tex]q=1,05[/tex] et de premier terme [tex]u_{1}=1 \ 200[/tex].
3) On en déduit la formule explicite de la suite [tex](u_{n})[/tex] de la forme :
[tex]u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}[/tex]
Soit :
[tex]u_{n}=1 \ 200\times 1,05^{n-1}[/tex]
Ainsi, la prime que recevra un ingénieur la 20ème année sera de :
[tex]u_{20}=u_{1}\times q^{20-1}=1 \ 200 \times 1,05^{19} \approx 3 \ 032,34[/tex] euros
4) On a : [tex]u_{n+1}=1,05u_{n}[/tex]
Comme [tex]q=1,05 > 1[/tex], la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.
En espérant t'avoir aidé.
