Une entreprise possède une chaine de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6 000 et 30 000 pièces. Le coût de fabrication, en euros, de x milliers de pièces, pour x compris entre 6 et 30, est noté C(x) où C est la fonction définie sur l'intervalle [6; 30] par : C(x) = 2x3-108x² +5060x-4640. Toutes les pièces produites sont vendues au prix de 3,5 euros l'unité. Pour tout x appartenant à l'intervalle [6; 30], on note R(x) le montant de la vente en euros de x milliers de pièces. Le bénéfice B(x), en euros, pour la production et la vente de x milliers de pièces est: B(x) = R(x)-C(x).

1. a) Déterminer le coût de fabrication de 8 000 pièces.
b) Déterminer le montant de la vente de 8 000 pièces.
c) L'entreprise réalise-t-elle du bénéfice si elle produit et vend 8 000 pièces ?

2. Montrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle [6;30]: R(x) = 3500x.

3. Montrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle [6;30]: B(x) = -2x³ + 108x² - 1560x+4640.

4. a) Vérifier que B(x) = -2(x-4)(x-25 +3√5)(x-25-3√/5).
b) Etudier le signe de B sur [6;30]. c) En déduire quelles quantités de pièces produites permettent de réaliser un bénéfice. (arrondir à l'unité).

5. a) On admet que la fonction B atteint son minimum en 10 et son maximum en 26 sur l'intervalle [6;30]. Dresser le tableau de variation de la fonction B.
b) En déduire le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise. Donner le nombre de pièces à produire réalisant ce maximum.​