Bonsoir,
On note x = DM
On a
AM² = DA² + DM² = 2² + x² = x² + 4 (d'après le th. de Pythagore)
MB² = MC² + CB² = (5 - x)² + 2² = x² - 10x + 29 (d'après le th. de Pythagore)
AB² = 5² = 25
AMB est rectangle en M si et seulement si AM² + MB² = AB² (th. de Pythagore et sa réciproque)
AM² + MB² = AB²
⇔ x² + 4 + x² - 10x + 29 = 25
⇔ 2x² - 10x + 8 = 0
⇔ x² - 5x + 4 = 0
⇔ x² - 2 × x × 5/2 + (5/2)² + 4 - (5/2)² = 0
⇔ (x - 5/2)² = 25/4 - 16/4 = 9/4 = (3/2)²
⇔ x - 5/2 = -3/2 ou x - 5/2 = 3/2
⇔ x = 5/2 - 3/2 ou x = 5/2 + 3/2
⇔ x = 1 ou x = 4
En conclusion, AMB est rectangle en M si et seulement si DM = 1 ou DM = 4
