D'après bac S, Pondichéry, avril 1998
Soif f la fonction définie sur [0;+infini[ par :
f(x) =( e^x-1)/(xe^x+1).
Partie A : Etude d'une fonction auxilaire
Soit g la fonction définie sur [0;+infini[ par g(x) = x+2-e^x
1- Etudier le sens de variation de la fonction g sur [0;+infini[
2- On admet que l'équation g(x)=0 admet une unique solution sur [0;+infini[
Déterminer un encadrement de a 10^-3 près
3 - En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x
Partie B : Etude de la fonction f
1-a-Montrer que, pour tout x de [0;+infini[,
f'(x)=(e^x*g(x))/(xe^x+1)²
b- En déuire le sens de variation de f sur [0;+infini[
2-a- Prouver que f() = 1/+1
b- En utilisant l'encadrement de , donner un encadrement de f() à 10^-2 près.
3- Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative Cf de f au point d'abscisse 0.
4- a - Montrer que, pour tout x de [0;+infini[,
f(x) - x = (x+1)*u(x) / xe^x+1
b- Etudier le sens de variation de la fonction u sur [0;+infini[
c- En déduire le signe de u(x) sur [0;+infini[
d- Déduire des questions précédentes la position de Cf par rapport à T
