Sagot :
Bonjour, voici la réponse à ton exercice :
Soit [tex]d[/tex], la droite dont la représentation paramétrique est :
[tex]d\::\:\begin{cases}x\:=\:1\:-\:t&\\ y\:=\:-\:3\:+\:4t&\\ z\:=\:6\:+\:t&\end{cases}, t \in \mathbb{R}[/tex]
1. On peut écrire son vecteur directeur [tex]\vec{s}[/tex] comme les coefficients du paramètre [tex]t[/tex] :
[tex]\vec{s}(-1 ; 4; 1)[/tex]
2. Comme ton devoir est mal écrit, je vais simplement t'écrire les propriétés pour résoudre la question n°2, et tu le feras toi-même.
Considérant un plan [tex]P[/tex] passant par le point [tex]A(x_A, y_A, z_A)[/tex], et admettant [tex]\vec{u}(x_u, y_u, z_u)[/tex] et [tex]\vec{v}(x_v, y_v, z_v)[/tex] comme vecteurs directeurs, alors le point [tex]M(x, y ,z)[/tex] appartient au plan [tex]P[/tex] ssi [tex]\exists \left(t_1,t_2\right)\in \mathbb{R}^2[/tex], tel que :
[tex]P : \begin{cases}x\:=\:x_A+x_ut_1\:+\:x_vt_2&\\ y\:=\:y_A+y_ut_1\:+\:y_vt_2&\\ z\:=\:z_A+z_ut_1\:+\:z_vt_2&\end{cases}[/tex]
Dans ton cas, tu vas remplacer [tex](x, y , z)[/tex] par les coordonnées respectives du point [tex]E[/tex], [tex](x_A, y_A, z_A)[/tex] par les coordonnées respectives de [tex]A[/tex], et [tex](x_u, y_u, z_u),(x_v,y_v, z_v)[/tex] par les coordonnées respectives de [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]\vec{v}[/tex], puis résoudre le système pour [tex]t_1[/tex] et [tex]t_2[/tex].
b. La droite [tex]d[/tex] est parallèle au plan [tex]P[/tex] ssi le vecteur directeur [tex]\vec{s}[/tex] est coplanaire avec [tex]\vec{u}[/tex] et [tex]\vec{v}[/tex], c'est-à-dire si l'on peut écrire un des vecteurs comme une combinaison linéaire des deux autres.
c. Considérant une droite [tex]\alpha[/tex] passant par le point [tex]E(1, 1, 1)[/tex] et de vecteur directeur [tex]\vec{u}[/tex], alors [tex]\exists t\in \mathbb{R}[/tex], tel que :
[tex]\alpha : \begin{cases}x\:=\:1\:+\:x_ut&\\ y\:=\:1\:+\:y_ut&\\ z\:=\:1\:+\:z_ut&\end{cases}[/tex]
Tu connais un le vecteur directeur [tex]\vec{u}[/tex] de la droite [tex]\alpha[/tex]. En déterminant le vecteur normal [tex]\vec{n}[/tex] du plan [tex]P[/tex], tu feras le produit scalaire [tex]\vec{u}.\vec{n}[/tex].
Si [tex]\vec{u}.\vec{n} = 0[/tex], il n'y a pas d'intersection entre [tex]\alpha[/tex] et [tex]P[/tex].
Si [tex]\vec{u}.\vec{n} \neq 0[/tex], alors [tex]\alpha[/tex] et [tex]P[/tex] sont sécants.
En espérant t'avoir aidé au maximum !
