Exercice 1:
Partie A:
Soit (un) la suite définie par son premier terme u0,et, pour tout entier naturel n, par la relation Un+1 = aun + b
(avec a et b réels non nuls tels que a≠1)
On pose, pour tout entier naturel n, Vn=un-(b/1-a)
1) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison a.
2) En déduire que, si a appartient à l'intervalle] -1; 1[, alors la suite (un) a pour limite(b/1-a)

Partie B:
En mars 2019, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de
mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants. Dès
qu'il rentre chez lu, Max taille sa plante.
1) Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2020 avant que Max ne la taille ?
2) Pour tout entier naturel n, on note hn , la hauteur de la plante avant sa taille, en mars de l'année (2019 + n).
a) Pour tout entier naturel n, exprimer hn+1 en fonction de hn
b) Conjecturer le sens de variations de la suite (hn) avec la calculatrice, puis démontrer cette conjecture en
utilisant un raisonnement par récurrence.
c) La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse en utilisant la partie A.