Une population stable de 20000 oiseaux vit sur deux îles voisines A et B,
éloignées de toute autre terre.
Chaque année, 20 % des oiseaux de l'île A migrent vers l'île B et 30 % des
oiseaux de l'île B migrent vers l'île A.
On note ao et bo les populations initiales sur A et sur B.
On note a et b les populations sur A et sur B au bout de n années.
Ce problème propose de conjecturer le comportement des suites (an)
(bn) nEN
1. Pour tout n E N, exprimer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn.
nEN
et
2. Ecrire un algorithme sous Python qui calcule a, et b, lorsque l'utilisateur saisit
ao et n puis compléter le tableau suivant :
(il faut exprimer an et bn à partir de a0 et n)

[tex]\forall n \in \mathbb{N}:\\\left\{\begin{array}{ccc}a_{n+1}&=&0.8*a_n+0.3*b_n\\b_{n+1}&=&20000-a_n\ ou\ 0.2*a_n+0.7*b_n\\\end {array} \right.\\\\[/tex]

Résolution mathématique:

[tex]a_{n+1}=0.8*a_n+0.3*(20000-a_n)\\\\\boxed{a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2} +6000}\\\\\\Calcul\ de\ la\ limite:\\\\L=\dfrac{L}{2}+6000 \\\\L=12000\\\\On\ pose\ u_n=a_n-12000\\\\u_{n+1}=a_{n+1}-12000\\\\=\dfrac{a_n}{2} +6000-12000\\\\=\dfrac{a_n}{2} -6000\\\\=\dfrac{1}{2}*(a_n-12000)\\\\=\dfrac{1}{2}*u_n\\\\u_0=a_0-12000\\\\u_n=(a_0-12000)*(\dfrac{1}{2})^n\\\\\boxed{a_n=(a_0-12000)*(\dfrac{1}{2})^n+12000}\\\\b_n=20000-a_n\\\\\boxed{b_n=8000+(12000-a_n)*(\dfrac{1}{2})^n}[/tex]

2)

A=int(input("effectif de l'île A"))

n=int(input"nombre d'années"))

B=20000-A

for i in range(n):

___ a,b=0.8*A+0.3*B,0.2*A+0.7*B

# il n'y a pas d'interférence entre A et B

#car les valeurs primitives sont placées sur une pile

print (A,B)