Bonjour,
On considère, pour tout nombre [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], le nombre [tex]x^{3}-x[/tex].
1) Si [tex]x=2[/tex], ce nombre vaut :
[tex]2^{3}-2=8-2=6[/tex]
2) Si [tex]x=0[/tex], ce nombre vaut :
[tex]0^{3}-0=0-0=0[/tex]
Donc [tex]0[/tex] est une solution de l'équation [tex]x^{3}-x=0[/tex].
3) Une autre solution évidente de cette équation est 1 car on a, pour [tex]x=1[/tex] :
[tex]1^{3}-1=1-1=0[/tex]
Nous ne somme pas certains d'avoir toutes les solutions, d'où l'utilité de factoriser l'expression.
4) On a :
[tex]x(x-1)(x+1)\\\\=x(x^{2} -x+x-1)\\=x(x^{2} -1)\\=x^{3}-x[/tex]
Or, il est possible de résoudre l'équation [tex]x(x-1)(x+1)=0[/tex] en utilisant la propriété suivante :
→ Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Ainsi, on a :
[tex]x(x-1)(x+1)=0[/tex]
[tex]x=0[/tex] ou [tex]x=1[/tex] ou [tex]x=-1[/tex]
Ainsi, cette équation admet 3 solutions.
L'ensemble des solutions de cette équation est [tex]S=\{-1;1;0\}[/tex]
En espérant t'avoir aidé.
