Bonjour,
1) P(x) =-x^3+ 8x^2-11x+4
1. Calculer p(1)
P(1) = - (1)^3+ 8(1)^2-11(1)+4= -1+8-11+4= 0.
que représente 1 pour P?
On constate que x= 1 est une racine de P.
2) Déterminer les réels a,b et c, tels que pour tout réels x :
on va factoriser pour pouvoir résoudre l'équation:
p(x) = (x-1)(ax^2+bc + c)
(x-1)(ax²+bc + c)= ax³+bx²+cx-ax²-bx-c
-x³+ 8x^2-11x+4= ax³+x²(b-a)+x(c-b)-c
⇔ { a= - 1 ⇔ { a= -1 ⇔ { a= -1
{ b-a= 8 { b-(-1)= 8 { b= 7
{ c-b= -11 { -4- b= -11 { -b= -7 ⇒ b= 7
{ - c= 4 { c= -4 [ c= -4
donc -x³+ 8x²-11x+4= (x-1)(-x²+7x-4)
= - (x-1)(x² - 7x + 4)
3) Les solutions de l'équation:
-x³+ 8x^2-11x+4= 0
- (x-1)(x² - 7x + 4) = 0
x-1= 0 ⇒ x= 1
ou x² - 7x + 4= 0
Δ= (-7)²-4(1)(4)= 49-16= 33 > 0; 2 solutions
x= (-(-7)-√33)/2(1)= (7-√33)/2
x= (-(-7)+√33)/2(1)= (7+√33)/2
donc x1= 1 ou x2= (7-√33)/2 ou x3= (7+√33)/2
S= { x1; x2; x3 }.