Bonsoir,
[tex] \\ [/tex]
Pour résoudre une équation dans l'ensemble des complexes, il est nécessaire de comprendre plusieurs éléments fondamentaux.
[tex] \bullet \sf{ \: Le \: premier \: c'est \: que \: tout \: nombre \: appartenant \: \grave{a} \: \mathbb{C} \: peut \: s ' \acute{e}crire \: de \: la \: mani \grave{e}re \: suivante : } \\ \sf{z = \blue{a} + i \red{b} } \: \: \: \: \forall \blue{a} \in \: \mathbb{R} \: \: \: et \: \: \forall \red{b} \in \: \mathbb{R} \\ \\ \sf{Avec: } \\ \sf{ \star \: \blue{a}, \: la \: partie \: r \acute{e}elle. \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \sf{ \star \: \red{b} ,\: la \: partie \: imaginaire.}[/tex]
[tex] \bullet \sf{ \: Le \: second \: c'est \: que \: \: \: i ^{2} = - 1 }[/tex]
1) Première équation.
[tex] \sf{2iz + 4 = - 3z + i }\\ \Longleftrightarrow \sf{2iz + 3z = i - 4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \diamond \sf{ \: On \: factorise \: } \diamond \\ \Longleftrightarrow \sf{2i \green{ \times z} + 3 \green{ \times z} = i - 4} \\ \Longleftrightarrow \sf{(2i + 3) \green{z} = i - 4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longleftrightarrow \sf{z = \dfrac{i - 4}{3 + 2i} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \\ \\ \diamond \sf{Je \: multiplie \: le \: num \acute{e}rateur \: et \: le \: d\acute{e}nominateur \: de \: z \: par \: le \: \bold{conjugu\acute{e}} \: du \: d \acute{e}nominateur.} \: \diamond \\ [/tex]
[tex] \Longleftrightarrow \sf{z = \dfrac{i - 4}{3 + 2i} \times \dfrac{ \overline{ 3 + 2i}}{ \overline{3 + 2i } } } \\ \\ \Longleftrightarrow \sf{ z= \dfrac{i - 4}{3 + 2i} \times \dfrac{ 3 - 2i}{ 3 - 2i }} \\ \\ \Longleftrightarrow \sf{z = \dfrac {(i - 4)(3 - 2i)}{(3 + 2i)(3 - 2i)}} \\ \\ \diamond \: \sf{On \: d\acute{e}veloppe \: } \diamond \\ \\ \Longleftrightarrow \sf{z = \dfrac{3i - 2i^{2} - 12 + 8i }{ {3}^{2} - ( { 2i)}^{2} }} \\ \\ \Longleftrightarrow \sf{z = \dfrac{3i + 2 - 12 + 8i}{9 + 4} } \\ \\ \Longleftrightarrow \sf{z = \dfrac{11i - 10}{13} = \boxed{ \blue{- \dfrac{10}{13}}+\red{\dfrac{11}{13}}\sf{i}}}[/tex]
[tex] \\ [/tex]
2) Seconde équation.
[tex] \sf z + 2\overline{z} = 3 - 4i \\ \diamond \sf \: On \: pose \: z = \blue{a} + i \red{b} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \blue{a}, \red{b} \in \mathbb{R} \: \diamond \\ \Longleftrightarrow\sf \blue{a} + i\red{b} + 2(\blue{a} - i\red{b}) = 3 - 4i \\ \sf \Longleftrightarrow 3\blue{a} - i\red{b} - 3 + 4i = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \diamond \: \sf \: Reperage \: des \: parties \: r\acute{e}elle \: et \: imaginaire \diamond \\ \Longleftrightarrow \sf \underbrace{(3\blue{a}- 3)}_{partie \: r\acute{e}elle} \: \: \: \: \: + \underbrace{(4 - \red{b})}_{partie \: imaginaire} \times i = 0[/tex]
Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Nous savons par ailleurs que les parties réelle et imaginaire de 0 sont elles aussi égales à 0. Cette information nous permet de poser le système suivant:
[tex]\left \{ {{\sf{3 \blue{a} \: - \: 3 \: = \:0 \implies \blue{a} \: -\: 1 \: = \: 0 }} \atop {\sf{ 4 \: - \: \red{b} \: = \: 0}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: } \right. \\ \\ \sf Nous \: obtenons \: alors: \\ \sf \blue{a = 1} \: \: \: et \: \: \: \red{b = 4} \\ \\ \sf \: z = \blue{a} + i\red{b} \Longleftrightarrow \boxed{\sf z = \blue{1} + \red{4}i}[/tex]
[tex] \\ [/tex]
Bonne soirée.
