Bonjour,
U₀ = 0 ; Uₙ₊₁ = (Uₙ + 1/(n+1)) / (2 - Uₙ)
1 ) U₁ = 1 / 2
U₂ = (1/2 + 1/2) / (2 - 1/2) = 2/3
2 ) Uₙ = n / (n + 1)
On a U₀ = 0 / (0 + 1)
Soit n un entier naturel tel que Uₙ = n / ( n + 1)
On a Uₙ₊₁ = (Uₙ + 1/(n+1)) / (2 - Uₙ)
⇔ Uₙ₊₁ = (n/(n+1) + 1/(n+1)) / (2 - n/(n+1))
⇔ Uₙ₊₁ = (n+ 1) / (2 (n + 1) - n)
⇔ Uₙ₊₁ = (n+ 1) / (2 n + 2 - n)
⇔ Uₙ₊₁ = (n+ 1) / ((n + 1) + 1)
Nous avons ainsi démontré par récurrence que Uₙ = n / ( n + 1) pour tout entier naturel n.
