ABCD est un carré.
Le point E est le symétrique de A par rapport à B et le point I est le milieu de [BC]
On souhaite démontrer de deux façons différentes que I est le milieu de [DE].
D
C
1. Première méthode : Dans un repère
a) Montrer que le repère (A, B, D) est orthonormé.
b) Déterminer les coordonnées de tous les points
de la figure dans ce repère.
c) Démontrer que I est le milieu de [DE].
B.
2
2. Deuxième méthode: Sans repère..
a) Quelle est la nature du quadrilatère DBEC ? Justifier.
b) En déduire que I est le milieu de [DE].

Question

Answered

Sagot :

MOZI MOZI · Answer 1 · 2022-10-07T12:45:56+02:00

Bonjour,

1. a) ABCD étant un carré, on a (AB) ⊥ (AC) et AB = AD

(A ; B ; D) est donc un repère orthonormé.

b) A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; C(1 ; 1) ; D(0 ; 1)

E est le symétrique de A par rapport à B. B est donc le milieu de [AE]

D'où 2xB = xA + xE et 2yB = yA + yE

⇔ xE = 2xB - xA = 2 et yE = 2yB - yA = 0

Soit E(2 ; 0)

I est le milieu de [BC}, on a donc :

xI = (xB + xC) / 2 = 1 et yI = (yB + yC) / 2 = ½

Soit I(1 ; ½)

c) On note que (xD + xE)/2 = 1 = xI et que (yD + yE)/2 = ½ = yI

On en conclut que I est le milieu de [DE]

2.a) E ∈ (AB) et (AB) // (CD) ⇒ (BE)//(CD)

De plus, E est le symétrique de A par rapport à B ⇒ AB = BE

D'autre part, (ABCD) est un carré ⇒ AB = CD

On en déduit que (BE)//(CD) et BE = CD

Cela nous permet de conclure que DBEC est un parallélogramme.

b) Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

I est donc à la fois le milieu de [BC] et de [DE].