Bonjour ,Exercice 1: On va effectuer une démonstration par l'absurde en supposant que √Z est rationnel. Si notre démonstration aboutit à une absurdité, cela prouvera que notre hypothèse de départ est fausse. Supposons donc que √2 est un rationnel. alors √Z=! a 1/2 avec a et b entiers naturels premiers entre eux, b non nul. 2. 1. Montrer que a² = 2b² et déduire que a² est pair Démontrer que si a est pair alors a² pair. Démontrer que si a est impair alors a² impair. 4. Déduire que a est pair. 3. Puisque a est pair, il existe un entier naturel k tel que a = 2k. 5. Montrer que b² = 2k² et déduire que b² est pair et b est pair. 6. Pourquoi les réponses des questions 4 et 5 sont-elles contradictoires avec l'hypothèse? 7. Déduisez-en que √2 n'est pas rationnel. Exercice 2: 1. Soit p un nombre premier. a) Quels sont les diviseurs positifs de p? b) Quels sont les diviseurs positifs de p² ? 2. Soit n un entier naturel, n supérieur ou égal à 2 et q = (n-1)(n² + 7). Pour quelles valeurs de n le nombre q est-il premier ? Exercice 3: 1 Soit x un nombre réel non nul tel que √√x + = √5, Calculer x + X
