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U0=2 et pour tout entier nature n,
Un+1=2/3×Un+1/3×n+1
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un < n+3
Démontrer que pour tout entier naturel n, Un+1-Un=1/3(n+3-Un)
Pouvez vous m'aider s'il vous plait ​

Sagot :

CAYLUS

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

1) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un < n+3

a) Initialisation : U(0)=2 < 0+3

b) Vrai pour n => vrai pour n+1

[tex]u_n < n+3\\\\\dfrac{2}{3} u_n < \dfrac{2}{3} (n +3)\\\\\dfrac{2}{3} u_n < \dfrac{2}{3} n +2\\\\\dfrac{2}{3} u_n +\dfrac{1}{3} n +1 < \dfrac{2}{3} n +2 +\dfrac{1}{3} n +1\\\\\dfrac{2}{3} u_n +\dfrac{1}{3} n +1 < n +3\\\\u_{n+1} < n+3\\\\[/tex]

[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{2}{3} u_n +\dfrac{1}{3} n +1 -u_n\\\\=\dfrac{1}{3} n +1-\dfrac{1}{3} u_n\\\\=\dfrac{1}{3} (n +3)-\dfrac{1}{3} u_n\\[/tex]