Bonjour,
1) a) Les triangles AMP et AHC sont semblables, d'où MP/AM = HC/AH soit :
MP = BC/(2AH) . x = 3x/5
b) MH = AH - AM = 5 - x
2) a) 0 ≤ AM ≤ AH soit 0 ≤ x ≤ 5
Df = [0 ; 5]
b) f(x) = MH . LP / 2 = MH . MP = (5 - x) . 3x / 5 = 3x - 3x²/5 = -0,6 x² + 3x
3) f(2,5) = 7,5 - 0,6 × 6,25 = 3,75
4) a) -f(2,5) = 3,75
b) f(x) - f(2,5) = -0,6 x² + 3x - 3,75 = -0,6 (x² - 5x + 6,25)
f(x) - f(2,5) = - 0,6 ((x² - 2 x × 2,5 + 2,5²) = -0,6 (x- 2,5)²
c) Pour tout x ∈ Df : (x - 2,5)² ≥ 0
⇔ -0,6 (x - 2,5)² ≤ 0
d) on en déduit que f(x) - f(2,5) ≤ 0 pour tout x ∈ Df
e) f(x) ≤ f(2,5) pour tout x ∈ Df
f) On en déduit que le maximum de f est atteint en x = 2,5
La valeur maximale de f est f(2,5) = 3,75 ce qui correspond à l'aire maximale du triangle LPH.
