Bonjour,
L'équation (E) est
[tex]8x^3-4\sqrt{3}x^2-2x+\sqrt{3}=0[/tex]
1)
Comme
[tex]8(1/2)^3-4\sqrt{3}(1/2)^2-2*1/2+\sqrt{3}=1-\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=0[/tex]
1/2 est solution
2)
Nous pouvons donc factoriser par (x-1/2)
Soit x réel
[tex]8x^3-4\sqrt{3}x^2-2x+\sqrt{3}=(x-\dfrac1{2})(8x^2+4(1-\sqrt{3})x-2\sqrt{3})=0[/tex]
[tex]\Delta=16(1-\sqrt{3})^2-4*8*(-2\sqrt{3})=16-32\sqrt{3}+16*3+64\sqrt{3}=64+32\sqrt{3} > 0[/tex]
Nous pouvons remarquer que le produit des racines est
[tex]-\dfrac{2\sqrt{3}}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})*(-\dfrac1{2})[/tex]
et la somme des racines
[tex]\dfrac{4(\sqrt{3}-1)}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}[/tex]
Les racines sont donc
[tex]S=\left \{-\dfrac1{2}; \dfrac1{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right \}[/tex]
Merci
Remarque, on vient de montrer indirectement que
[tex]\dfrac{4(\sqrt{3}-1)-\sqrt{64+32\sqrt{3}}}{16}=-\dfrac1{2}[/tex]
