Réponse :
On considère la suite (Un) définie par Un= 1 et, pour
tout entier naturel n ≥ 1, un+1 = 2Un + 1.
• Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1,
Un= 2ⁿ⁻¹
* initialisation : vérifions que n = 1 P(1) est vraie
u1 = 1 = 2¹⁻¹ = 2⁰ = 1 donc P(1) est vraie
* hérédité : supposons que pour l'entier n ≥ 1 P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie
un+1 = 2un + 1 ⇔ un+1 = 2(2ⁿ⁻¹) + 1 = 2ⁿ + 1 donc P(n+1) est vraie
* conclusion pour n = 1 P(1) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 1
xplications étape par étape :