On présente ci-dessous le raisonnement
Je veux démontrer que 2" est un multiple de 3 pour tout entier naturel n.
On note P(n) la propriété : 2" est un multiple de 3.
On considère un entier k quelconque. On suppose que la propriété P(k)
est vraie pour ce rang k, c'est-à-dire que 2* est un multiple de 3, c'est-à-
dire que 2* = 3a avec a entier.
On veut montrer que P(k+1) est alors vraie, c'est-à-dire 2+1 = 3a' avec a'
entier.
On a : 2k+1 = 2x2 = 2× 3a d'après l'hypothèse faite au rang k.
On a donc 2k+1=3x2a=3a', avec a' = 2a, qui est bien un entier.
On peut donc dire que 2+1 est bien un multiple de 3 et donc que P(k+1)
est vraie.
La propriété P(n) est donc héréditaire.
On en déduit que 2" est un multiple de 3 pour tout entier n > 0.
• Que penser de la justesse de ce raisonnement ?
