Réponse :
1) justifier que l'aire du triangle OMN est donnée par A(x) = 0.5 xe⁻ˣ
tout d'abord déterminons les longueurs ON et NM
N(x ; 0) et M(x ; e⁻ˣ)
vec(ON) = (x - 0 ; 0 - 0) = (x ; 0) ⇒ ON² = x² ⇒ ON = √x² = x x ≥ 0 car x ∈ [0 ; + ∞[
vec(NM) = (x - x ; e⁻ˣ - 0) = (0 ; e⁻ˣ) ⇒ NM² = (e⁻ˣ)² ⇒ NM = √(e⁻ˣ)² = e⁻ˣ car x ∈[0 ; + ∞[
donc l'aire A(x) = 1/2(ON * NM) = 1/2(x * e⁻ˣ) = 0.5 xe⁻ˣ
donc A(x) = 0.5 xe⁻ˣ
2) démontrer que pour tout x ≥ 0 ; A'(x) = 0.5e⁻ˣ(1 - x)
la fonction A est une fonction produit dérivable sur [0 ; + ∞[ et sa dérivée A' est : A'(x) = (u*v)' = u'v + v'u
u(x) = 0.5 x ⇒ u'(x) = 0.5
v(x) = e⁻ˣ ⇒ v'(x) = -e⁻ˣ
A'(x) = 0.5e⁻ˣ - 0.5 xe⁻ˣ = 0.5e⁻ˣ(1 - x)
3) construire le tableau de variation de A(x) sur [0 ; + ∞[
le signe de la fonction dérivée A'(x) = 0.5e⁻ˣ(1 - x) or 0.5e⁻ˣ > 0
donc le signe de A'(x) dépend du signe de 1 - x
x 0 1 + ∞
A'(x) + 0 -
variat. 0 →→→→→→→→→→→→0.5e⁻¹→→→→→→→ 0
de A(x) croissante décroissante
la limite de A(x) en + ∞ est : lim 0.5 x/eˣ = ∞ x 0 F.I
x → + ∞
on pose y = eˣ ( y > 0) donc x = ln y et lim ln y/y = 0
y → + ∞
donc lim A(x) = 0
x → + ∞
4) a) pour que l'aire du triangle OMN soit maximale on doit place le point M en x = 1
b) donner cette aire maximale ainsi que les dimensions du triangle
l'aire maximale du triangle est : 0.5e⁻¹ = 0.5/e
1/2(ON * NM) = 0.5e⁻¹ d'où NM = e⁻¹ = 1/e
5) b) déterminer une équation de la tangente T1 à C au point M d'abscisse 1
T1 a pour équation y = f(1) + f'(1)(x - 1)
f(1) = e⁻¹ et f '(1) = -e⁻¹
y = e⁻¹ - e⁻¹(x - 1) = -e⁻¹ x + 2e⁻¹
c) y = 0 donc x = 2e⁻¹/e⁻¹ = 2
l'abscisse du point P est x = 2
Explications étape par étape :