Bonjour,
Ton devoir est trop long.
Je vais te proposer une solution pour l'exo 2 et poses d'autres questions pour les autres exos.
Nous considérons connu l'identité pour tout entier n
[tex]1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
Elle est donc valable pour 2n, qui donne
[tex]1+2+3+4+5+...+(2n-1)+2n=\dfrac{2n(2n+1)}{2}=n(2n+1)\\\\[/tex]
Réarrangeons les termes, sommant les nombres impaires + les nombres paires
[tex]1+2+3+4+5+...+(2n-1)+2n=\\\\1+3+5+...+(2p+1)+...+2n-1\\\\+2+4+6+...+2p+...+2n[/tex]
Nous voyons d'une part la somme [tex]S_n[/tex] apparaitre et d'autre part
[tex]2+4+6+...+2p+2n=2*1+2*2+2*3+...+2*p+...+2*n\\\\=2(1+2+...+n)=n(n+1)[/tex]
Donc, en résumé, cela nous donne
[tex]1+2+3+4+5+...+(2n-1)+2n=S_n+n(n+1)[/tex]
et
[tex]1+2+3+4+5+...+(2n-1)+2n=n(2n+1)\\\\[/tex]
Ce qui implique
[tex]S_n+n(n+1)=n(2n+1)\\\\S_n=n(2n+1)-n(n+1)=n(2n+1-n-1)=n^2\\\\\boxed{\boxed{S_n=n^2}}[/tex]
Merci
