Réponse :
Explications étape par étape :
1) Jason n'a pas raison
pour n =0 on a n² = 0 et 2n = 0
donc n² n'est pas strictement supérieur à 1
2) Pour tout n E N, notons P(n) la propriété « n²> 2n ».
a) supposons que (Pn) vraie soit n² > 2n
alors n²+2n > 4n
n²+2n +1 > 4n+ 1
(n+1)² > 4n+1 > 2n + 2
(en effet (4n+1) - (2n+2) = 2n - 1 > 0 pour n>2)
Donc si n²>2n alors (n+1)² > 2(n+1)
Donc si Pn vraie alors Pn+1 vraie
L'hérédité est vérifiée
b) Non P0 n'est pas vraie ( voir 1)
c)
1² = 1 et 2X1 = 2 donc P1 n'est pas vraie
2² = 4 et 2X2 = 2 donc P2 n'est pas vraie
3² = 9 et 3X2 = 6 donc P3 est vraie
Le plus petit entier naturel no tel que P(n) soit vraie est n = 3
d)
Affirmation corrigée
Pour tout n EN tel que n>2 , n² > 2n.
(La propriété est hériditaire pour tount entier naturel >2 )
