Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir, ton exercice n'est pas difficile, tu devrais nous montrer les pistes, que tu as recherché. Tu as probablement d'autres exercices, je te montre une correction, pour que tu vois comment procéder par la suite.
a) Soient A et B, 2 matrices commutables, alors il est possible d'écrire que [tex]AB = BA[/tex]. On compose par l'inverse de A à gauche de chaque égalité :
[tex]AB = BA < == > A^{-1}AB = A^{-1}BA < == > IB = B = A^{-1}BA[/tex]
Ceci est faisable, car A est inversible. On compose à nouveau par l'inverse de A, à droite de chaque membre :
[tex]B = A^{-1}BA < == > BA^{-1} = A^{-1}BAA^{-1} = A^{-1}BI = A^{-1}B.[/tex]
b) Soient A et B, matrices carrées de taille n. En premier lieu, la matrice identité I, et A, commutent. Il est donc possible d'utiliser l'identité remarque (a-b)² dans le calcul. Si elles ne commutaient pas, le résultat serait différent.
A idempotente, équivaut à A² = A. Calculons donc B² :
[tex]B^2 = (I-A)^2 = I^2 - 2IA + A^2 = I - 2A + A^2[/tex]. Or, A est idempotente, donc, comme A² = A, on aura :
[tex]B^2 = I - 2A + A^2 = I -2A + A = I - A = B.[/tex] Par conséquent, B est idempotente.
Bonne soirée