Sagot :
Réponse :
Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par Vo = 0, vn+1=1/2-vn 1.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, 0<vn<1
P : 0 < vn < 1
1) initialisation : vérifions que pour n = 0 P(0) est vraie
0 < v0 = 0 < 1 donc P(0) est vraie
2) hérédité : supposons que pour tout entier n ; P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire 0 < vn+1 < 1
on a 0 < vn < 1 ⇔ 0 > - vn > - 1 ⇔ 2 > 2 - vn > - 1 + 2
⇔ 1 < 2 - vn < 2 ⇔ 1/2 < 1/(2-vn) < 1 ⇔ 0 < 1/(2 -vn) < 1
donc 0 < vn+1 < 1 ⇒ P(n+1) est vraie
3) conclusion
pour n = 0 ; P(0) est vraie; et par hérédité au rang n P(n) est vraie donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
Explications étape par étape :
