Bonjour,
Les premières questions ne sont pas claires.
Que pouvons-nous dire des solutions de cette équation?
Nous avons l'équation suivante, à résoudre sur x où m est un paramètre.
[tex](m+2)x^2-(m+4)x+2-m=0[/tex]
Nous reconnaissons une équation du second degré du type
[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]
Où
[tex]a=m+2\\\\b=-(m+4)\\\\c=2-m[/tex]
Pour être précis, c'est une équation du second degré si a est différent de 0.
Tout d'abord, si a= m+2=0, cela revient à une équation du premier degré
Pour m=-2, nous avons 2+m=0 et l'équation devient
-(-2+4)x+2-(-2)=-2x+4=0
Et il y a une solution unique x = 2
Maintenant, prenons m différent de -2, il s'agit d'une équation du second degré et nous avons une méthode du cours pour les résoudre.
Le discriminant s'écrit
[tex]\Delta=b^2-4ac=(m+4)^2-4(m+2)(2-m)=m^2+8m+16+4m^2-16=5m^2+8m\\\\\Delta = m(5m+8)[/tex]
Une rapide étude de signes montre que cette expression est négatif strictement pour m sur ]-8/5;0[ et positif ailleurs.
De ce fait,
pour m dans ]-8/5;0[, le discriminant est strictement négatif, il n'y a pas de solution.
pour m = -8/5, il y a une solution qui est
[tex]-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{m+4}{2(m+2)}=\dfrac{20-8}{2(10-8)}=3[/tex]
pour m = 0, il y a une solution qui est
[tex]-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{m+4}{2(m+2)}=\dfrac{4}{2*2}=1[/tex]
pour m =2 nous avons déjà vu qu il y a une solution qui est 2
Pour m différent de -2 et
[tex]m \in ]-\infty;-\dfrac{8}{5}[\cup ]0;+\infty[[/tex]
Le discriminant est strictement positif, nous avons deux solutions [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]
[tex]x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{m+4}{m+2}\\\\x_1*x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2-m}{2+m}\\\boxed{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{m+4-\sqrt{m(5m+8)}}{2(m+2)}}\\\\\boxed{x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{m+4+\sqrt{m(5m+8)}}{2(m+2)}}[/tex]
Une rapide étude de signes montre que le produit des racines est positif entre -2 et 2 et négatif ailleurs.
Donc les deux racines sont de signes distinctes pour
[tex]m\in ]-\infty;-2[\cup ]2;+\infty[[/tex]
Elles sont de même signe pour
[tex]m \in ]-2;-\dfrac{8}{5}[\cup]0;2[[/tex]
pour m=2 une des racines est nulle.
Evaluons la sommes des inverses des racines, pour
[tex]m \in ]-\infty;-2[\cup]-2;-\dfrac{8}{5}[\cup ]0;2[\cup]2;+\infty[[/tex]
[tex]\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1*x_2}=-\dfrac{b}{a}*\dfrac{a}{c}=-\dfrac{b}{c}\\\\=\dfrac{m+4}{2-m}[/tex]
Pour que cette somme soit égale à 1/5 cela donne 5(m+4)=2-m ce qui donne m=-3
Merci
