Exercice 1. Second degré et dérivation
On souhaite fabriquer un aquarium (sans couvercle) de base carrée pour contenir des poissons rouges.
Il faut un volume de 13,5L (soit 13 500 cm³) pour que les poissons soient heureux.
On cherche à déterminer les dimensions de l'aquarium afin d'utiliser le moins de matériel possible.
1) On note x la longueur, en cm, d'un côté de la base.
Quelles sont les valeurs possibles pour x ?
Donner l'expression de la hauteur h de l'aquarium en fonction de x.
2) Soit A(x) la somme des aires de toutes les faces de cette boîte.
Exprimer A(x) en fonction de x.
3) Pour tout x de l'ensemble de définition, calculer A'(x) et montrer que
A'(x) =
2(x-30) (x² + 30x +900)
x²
4) Etablir le tableau de variation de A sur son ensemble de définition.
5) Déterminer les dimensions de l'aquarium qui permettent d'obtenir une aire minimale.
Quelle sera alors cette aire ?