Bonsoir,
1) (BC) // (AN)
D'après le th. deThalès, on a :
MB/AM = BC/AN ⇔ BM / (BM + AB) = AD / AN
⇔ AN = AD (AB + BM) / BM
⇔ AN = 2 (x + 3) / x
2) Aire(AMN) = AM.AN/2 = (x + 3) * 2 (x + 3) / 2x = (x + 3)² / x
3) Pour tout x dans IR*+, on a (x + 3)² > 0 et x > 0
D'où (x+3)²/x ≥ 0
On en déduit que f(x) > 0 pour tout x dans ]0 ; +∞[
la courbe de f est donc située au dessus de l'axe des abscisses.
4) f(3) = (3 + 3)²/3 = 12
5) Soit x un élément de ]0 ; +∞[
On a f(x) - 12 = (x+3)² / x - 12 = (x² + 6x + 9 - 12x)/x = (x² - 6x + 9)/x = (x - 3)² / x
D'où f(x) - 12 ≥ 0 pour tout x dans IR*+
On en déduit que la courbe représentative de f est située au dessus de la droite d'équation y = 12
Elle la coupe au point de coordonnées (3 ; 12)
6) f(a) - f(b) = (a+3)²/a - (b+3)²/b = (a²b + 6ab + 9b - ab² - 6ab - 9a) / ab
Soit f(a) - f(b) = (a²b + 9b - ab² - 9a) / ab = (a (ab - 9) - b (ab - 9)) / ab
D'où f(a) - f(b) = (a - b) ( ab - 9) / ab
7) Soit a et b deux réels appartenant à [3 ; +∞[ avec a < b
On a : a - b < 0 ; ab - 9 > 0 (puisque b > a ≥ 3) et ab > 0
D'où f(a) - f(b) < 0 soit f(a) < f(b) pour tout 3 ≤ a < b
f est donc strictement croissante sur [3 ; +∞[
8)
x__| 0________3________+∞|
f(x)|Décroissante 12 Croissante|
9) D'après le tableau de variation de f, la fonction a un minimum absolu en 3
L'aire minimale de AMN est donc 12 u.a et ce miminumest atteint pour x = 3 soit pour AB = BM
