Réponse : Bonjour,
1)
[tex]\displaystyle f'(x)=-e^{-x}\ln(1+e^{x})+\frac{e^{x}}{1+e^{x}}e^{-x}=e^{-x}\left(-\ln(1+e^{x})+\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\right)[/tex]
2)
[tex]\displaystyle 1-f'(x)-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}=1-e^{-x}(-\ln(1+e^{x})+\frac{e^{x}}{1+e^{x}})-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\\=1-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}-e^{-x}(-\ln(1+e^{x})+\frac{e^{x}}{1+e^{x}})\\=\frac{1+e^{x}-e^{x}}{1+e^{x}}-e^{-x}(-\ln(1+e^{x})+\frac{e^{x}}{1+e^{x}})\\=\frac{1}{1+e^{x}}+e^{-x}\ln(1+e^{x})-\frac{1}{1+e^{x}} =e^{-x}\ln(1+e^{x})=f(x)[/tex]
3)
[tex]\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \; dx=\int_{0}^{1} 1-f'(x)-\frac{e^{x}}{1+e^{x}} \; dx=\int_{0}^{1} 1 \; dx-\int_{0}^{1} f'(x) \; dx-\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \; dx\\=[x]_{0}^{1}-[f(x)]_{0}^{1}-[\ln(1+e^{x})]_{0}^{1}=1-f(1)+f(0)-\ln(1+e)+\ln(2)\\=1-e^{-1}\ln(1+e)+\ln(2)-\ln(1+e)+\ln(2)\\=1+2\ln(2)-\ln(1+e)(e^{-1}+1)=1+2\ln(2)-\ln(1+e)\left(\frac{1}{e}+1\right)\\=1+2\ln(2)-\ln(1+e)\left(\frac{e+1}{e}\right)[/tex]
