Bonjour,
Nous pouvons nous ramener à une somme sur tous les entiers sans réduire la généralité du probleme.
La suite géométrique que nous recherchons s'écrit de la forme
[tex]u_n=u_0a^n[/tex]
pour tout n entier, avec [tex]u_0[/tex] et a deux réels.
Nous savons que
[tex]\displaystyle \sum_{p=0}^{\infty} u_p=15\\\\\displaystyle \sum_{p=0}^{\infty} u_p^2=45[/tex]
Nous pouvons déjà remarquer que [tex]u_0[/tex] est non nul.
Et a=1 ne peut pas convenir car la serie serait alors divergente, donc a est différent de 1 .
Par définition de la suite [tex](u_n)[/tex] cela s'écrit aussi
[tex]\displaystyle \sum_{p=0}^{\infty} u_p=\dfrac{u_0}{1-a}=15\\\\\displaystyle \sum_{p=0}^{\infty} u_p^2=\sum_{p=0}^{\infty} u_o^2*(a^2)^n=\dfrac{u_0^2}{1-a^2}=45[/tex]
De la première équation nous avons
[tex]u_0=15-15a \\\\a=\dfrac{15-u_0}{15}[/tex]
Comme 45 est 3 *45, nous avons aussi
[tex]\dfrac{u_0^2}{1-a^2}=3*\dfrac{u_0}{1-a}\\\\u_0^2(1-a)=3u_0(1-a)(1+a)[/tex]
Comme a est différent de 1 et nous pouvons simplifier l'équation qui devient
[tex]u_0=3(1+a)\\\\a=\dfrac{u_0-3}{3}[/tex]
En combinant avec la première relation obtenue nous avons donc que
[tex]a=\dfrac{15-u_0}{15}=\dfrac{u_0-3}{3}\\\\15-u_0=5u_0-15\\\\6u_0=30\\\\\boxed{u_0=5}[/tex]
et alors
[tex]a=\dfrac{15-u_0}{15}\\\\\boxed{a=\dfrac{2}{3}}[/tex]
[tex]\displaystyle \sum_{p=0}^{\infty} 5*(\dfrac{2}{3})^p=15\\\\\displaystyle \sum_{p=0}^{\infty} 5^2*(\dfrac{2^2}{3^2})^p=\sum_{p=0}^{\infty} 25*(\dfrac{4}{9})^p=45[/tex]
Merci
