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164 ** Soit (u) la suite définie par u. = 2 et, pour tout nEN, Un+1=Un-4/Un-1.
1. Calculer les quatre premiers termes de la suite (Un).
2. Montrer que, pour tout n EN, Un+2 = Un
3. Déterminer l'expression de Un, en fonction de n.

164 Soit U La Suite Définie Par U 2 Et Pour Tout NEN Un1Un4Un1 1 Calculer Les Quatre Premiers Termes De La Suite Un 2 Montrer Que Pour Tout N EN Un2 Un 3 Déterm class=

Sagot :

BTRAORE7606

Réponse:

  1. Les 4 premiers termes sont : U(1)= -2 ; U(2)= 2 ; U(3)=-2.
  2. En prenant pour n=n+1, la suite (Un) sera égale à : U(n+2)= U(n+1)-4/U(n+1)-1. Or U(n+1)=Un+1=Un-4/Un-1, en remplaçant et en simplifiant on trouve Un+2=Un.
  3. En remarquant jusqu'au rang n-1, n-2 jusqu'à n on peut déduire que pour tout n E N, Un=(-1)puissance(n)*2.

Explications étape par étape:

  1. Puisqu'on a dit que n E N alors n doit Commencer par zero or U0 = 2 . Alors les quatres premiers termes de la suite (Un) sont : Pour n = 0 ; U1= -2. Pour n = 1 ; U2= 2. Pour n = 2 ; U3 = -2. Donc les 4 premiers termes de (Un) sont : U1 = -2 ; U2 = 2 et U3= -2 .
  2. Demontrons que Un+2=Un. Pour n=n+1 on a : Un+2=Un+1-4/Un+1-1. Or Un+1=Un-4/Un-1 alors on a : Un+2=(Un-4/Un-1)-4/((Un-4/Un-1)-1)=((Un- 4-4Un+4)/(Un-1))*((Un-1)/(Un-4-Un+1))=(-3Un/Un-1)*(Un-1/-3)= Un. Donc pour tout n E N Un+2=Un.
  3. L'expression de (Un) en fonction de n . on a : U0 = 2 = ( 1 )⁰U0; U1= -2= (-1)¹U0; U2= 2=(-1)¹U1 ; U3= -2=(-1)³U0. En faisant la somme des termes et en simplifiant on trouvera : Un=(-1)puissance(n)*2.