bonjour pouvez-vous m’aider ?exercice 36
(un) est la suite définie par u = 0 et pour tout
entier naturel n, unt1 = √√un +2.
Pour tout entier naturel n, on note P(n) la propriété :
«O≤un≤2».
a) Vérifier que P(0) est vraie.
b) On suppose la propriété vraie pour un nombre entier
naturel k.
Démontrer qu'alors la propriété P(k+ 1) est vraie.
c) Que peut-on conclure des questions précédentes?

Bonjour.

a) u0 = 0 donc on a bien 0<=u0<=2
Donc P(0) est vraie.

b)soit k € N fixé. On suppose P(k) vraie.
Ainsi: u(k+1) = racine(uk + 2) avec 0 <= uk <= 2

Donc racine(2) <= u(k+1) <= racine (4)
On a donc:

0<= u(k+1) <= 2.
Donc P(k+1) est vraie.

c) Ainsi, par récurrence, P est vraie pour tout n € N.

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CAYLUS CAYLUS · Answer 2 · 2022-08-21T11:44:57+02:00

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

Je note est définie par ≡.

[tex]P(n) \equiv\ 0\leq u_n\leq 2\\a)\\P(0)\ est\ vrai\ car\ u_0=0\ et\ 0\leq 0\leq 2\ est\ vrai\\\\b)\\P(k)\equiv\ 0\leq u_k\leq 2\ est\ vrai\\\\\Longrightarrow\ 0\leq u_k\leq 2\\\\\Longrightarrow\ 0+2\leq u_k+2\leq 2+2\\\\\Longrightarrow\ 2\leq u_k+2\leq 4\\\\\Longrightarrow\ 0\leq \sqrt{2} \leq \sqrt{ u_k+2}\leq 2\\\\\Longrightarrow\ 0 \leq \ u_{k+1}\leq 2\\\\\Longrightarrow\ P(k+1)\ est\ vrai\\\\\\[/tex]

[tex]c)\\\left\{ \begin{array}{ccc}u_0&=&0\\u_{n+1&}=&\sqrt{u_n +2} \\P(n)&\equiv &0\leq u_n\leq 2,\\\end{array}\right\}\Longrightarrow\ \forall\ i \in \mathbb{N},\ P(i) \ est\ vrai.\\[/tex]