Réponse :
Soit fune fonction définie sur l'intervalle [0,7; 6].
On suppose que fest dérivable sur [0,7;6].
La fonction dérivée de la fonction fest notée f'.
Partie A. Étude graphique
On a représenté la fonction f sur le graphique ci-contre.
1. La tangente au point d'abscisse 3 à la courbe représentative de f
passe par les points A(3; 4) et B(4;0). Calculer f'(3).
f '(3) = tan α = a = (0 - 4)/(4 - 3) = - 4
2. D'après le graphique ci-contre,
donner le signe de f'(x) suivant les valeurs de x appartenant à l'intervalle [0,7; 6].
f '(x) ≤ 0 sur l'intervalle [0.7 ; 1]U[2 ; 6]
f '(x) > 0 sur l'intervalle ]1 ; 2{
Partie B. Étude théorique
On admet que la fonction f est définie sur [0,7; 6] par :
f(x)=(x-2x + 1)e-2x+6
1.Démontrer que pour tout x dans [0,7; 6], on a f(x) ≥ 0.
f(x)=(x²-2x + 1)e-2x+6 or e⁻²ˣ⁺⁶ > 0 et x² - 2 x + 1 = (x - 1)² ≥ 0
donc (x²-2x + 1)e-2x+6 ≥ 0 donc f(x) ≥ 0
2. Montrer que pour tout x dans [0,7; 6], on a f'(x)=(-2x²+ 6x-4)e-2x+6
f(x)=(x²-2x + 1)e-2x+6
f est le produit de deux fonctions dérivables sur R donc dérivables sur [0.7 ; 6] et sa dérivée f ' est :
f '(x) = (uv)' = u'v + v'u
u(x) = x² - 2 x + 1 ⇒ u'(x) = 2 x - 2
v(x) = e⁻²ˣ⁺⁶ ⇒ v'(x) = - 2e⁻²ˣ⁺⁶
donc f '(x) = (2 x - 2)e⁻²ˣ⁺⁶ + (- 2(x² - 2 x + 1))e⁻²ˣ⁺⁶
= (2 x - 2 - 2 x² + 4 x - 2)e⁻²ˣ⁺⁶
= (- 2 x² + 6 x - 4)e⁻²ˣ⁺⁶
3. Étudier le signe de la fonction f' sur l'intervalle [0,7; 6]
f '(x) = (- 2 x² + 6 x - 4)e⁻²ˣ⁺⁶ or e⁻²ˣ⁺⁶ > 0 donc le signe de f'(x) dépend du signe de - 2 x² + 6 x - 4 = 2( - x² + 3 x - 2)
Δ = 9 - 8 = 1 > 0 ⇒ 2 racines ≠
x1 = - 3 + 1)/- 2 = 1
x2 = - 3 - 1)/-2 = 2
f '(x) ≤ 0 sur l'intervalle [0.7 ; 1]U[2 ; 6]
f '(x) > 0 sur l'intervalle ]1 ; 2[
Tableau de variation
x 0.7 1 2 6
f(x) f(0.7) →→→→→→ f(1) →→→→→→→ f(2) →→→→→→→→ f(6)
décroissante croissante décroissante
et dresser le tableau de variation def sur [0,7; 6].
4. Vérifier le résultat du 1) de la partie A puis déterminer l'équation réduite de la tangente au point A d'abscisse 3
l'équation de la tangente à la courge de f au point d'abscisse 3 est :
y = f(3) + f '(3)(x - 3)
f '(3) = (- 2* 3² + 6*3 - 4)e^0 = - 4
f(3) = (3² - 2*3 + 1)e^0 = 4
y = 4 - 4(x - 3) = 4 - 4 x + 12 = - 4 x + 16
les résultat de 1) A et B sont identiques
Explications étape par étape :
