Bonjour,
b) Pour tout x ∈ IR \{-2 ; 1}, on a
(3 - 2x) / (x - 1) ≤ (6 - 5x) / (x + 2)
⇔ (6 - 5x) / (x + 2) - (3 - 2x) / (x - 1) ≥ 0
⇔ ((6 - 5x) ( x - 1) - (3 - 2x) ( x + 2)) / ((x + 2) ( x - 1)) ≥ 0
⇔ ( 6x - 6 - 5x² + 5x - 3x - 6 + 2x² + 4x) / ((x + 2) ( x - 1)) ≥ 0
⇔ (-3x² + 12x - 12) / ((x + 2) ( x - 1)) ≥ 0
⇔ (x² - 4x + 4) / ((x + 2) ( x - 1)) ≤ 0
⇔ (x - 2)² / ((x + 2) ( x - 1)) ≤ 0 (A)
2 est une solution évidente.
Si x ≠ 2,
(A) ⇔ (x + 2) ( x - 1) < 0
⇔ -2 < x < 1
On en conclut que S = ]-2 ; 1[ U {2}
c) 3 < x² - 2x ≤ 8
⇔ 4 < x² - 2x + 1 ≤ 9
⇔ 2² < (x - 1)² ≤ 3²
⇔ 2 < |x - 1| ≤ 3
⇔ -3 ≤ x - 1 < -2 ou 2 < x - 1 ≤ 3
⇔ -2 ≤ x < -1 ou 3 < x ≤ 4
S = [-2 ; 1[ U ]3 ; 4]
d) (x² + 5x)² < (x² - 3)²
⇔ (x² - 3)² - (x² + 5x)² > 0
⇔ (x² - 3 - x² - 5x) (x² - 3 + x² + 5x) > 0
⇔ -(5x + 3) (2x² + 5x - 3) > 0
⇔ (5x + 3) (2x² + 5x - 3) < 0
⇔ (x + 3/5) (x² + 2 * x * 5/4 +(5/4)² - 25/16 - 24/16) < 0
⇔ (x + 3/5) ((x + 5/4)² - (7/4)²) < 0
⇔ (x + 3/5) (x + 5/4 - 7/4) (x + 5/4 + 7/4) < 0
⇔ (x + 3/5) (x -1/2) (x + 3) < 0
⇔ -3 < x < 3/5 ou x > 1/2 (grace au tableau des signes)
D'où S = ]-3 ; 3/5[ U ]½ ; +∞[
e) (3x + 2)² (x + 1) > (3x + 2)³ x
⇔ (3x + 2)² (x + 1) - (3x + 2)³ x > 0
⇔ (3x + 2)² ((x + 1) - (3x + 2) x) > 0
⇔ x ≠ -2/3 et (x + 1) - (3x + 2) x > 0
⇔ x ≠ -2/3 et x + 1 - 3x² - 2x > 0
⇔ x ≠ -2/3 et x² + x/3 - 1/3 < 0
⇔ x ≠ -2/3 et x² + 2 * x * 1/6 + (1/6)² - 1/36 - 12/36 < 0
⇔ x ≠ -2/3 et (x + 1/6)² - 13/36 < 0
⇔ x ≠ -2/3 et (x + 1/6 - (√13)/6) (x + 1/6 + (√13)/6) < 0
⇔ x ≠ -2/3 et (x + (1 - √13)/6) (x + (1 + √13)/6) < 0
⇔ x ≠ -2/3 et -(1 + √13)/6 < x < -(1 - √13)/6
D'où S = ](-1 - √13)/6 ; -2/3 U] 2/3 ; ((√13) -1)/6[
