Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
Recherchons l'équation d'un polynôme du 3è degré ayant pour racines a,b,c
[tex]P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc\\\\On\ a\ :8x^3-42x^2+63x-27=8(x^3-\dfrac{21}{4}x^2+\dfrac{63}{8}x-\dfrac{27}{8} )\\ \\Par\ identification\ des\ coefficients:\\ \\\left\{\begin{array}{ccc}a+b+c&=&\dfrac{21}{4} \\\\ab+ac+bc&=&\dfrac{63}{8} \\\\abc&=&\dfrac{27}{8} \\\end{array} \right.\\\\[/tex]
[tex]Soit\ \dfrac{u}{r} ,u,u*r\ les\ 3\ racines\\\\ \\\left\{\begin{array}{cccc}\dfrac{u}{r}+u+u*r&=&\dfrac{21}{4}&(1) \\\\\dfrac{u^2}{r}+u^2+u^2*r&=&\dfrac{63}{8}&(2) \\\\u^3&=&\dfrac{27}{8} &(3)\\\end{array} \right.\\\\[/tex]
[tex](3)\Longrightarrow\ u=\dfrac{3}{2} \\\\(1)\Longrightarrow\ \dfrac{3}{2}*(1+r+r^2) =\dfrac{21}{4} \Longrightarrow\ \dfrac{1+r+r^2} {r}=\dfrac{7}{2} \\\\\Longrightarrow\ 2r^2-5r+2=0\\\Longrightarrow\ r=2\ ou\ r=\dfrac{1}{2}\\\\si\ r=2\ alors\ les \ racines\ sont \ \dfrac{3}{4} ,\dfrac{3}{2} , 3\\\\si\ r=\dfrac{1}{2} \ alors\ les \ racines\ sont \ 3,\dfrac{3}{2} ,\dfrac{3}{4} \\[/tex]
