Bonjour,
Tout d'abord, remarquons que les intégrales sont bien définies car les fonctions impliquées sont continues sur l'intervalle fermé d'integration.
a)
La fonction u qui a x associe [tex]e^x[/tex] pour x dans l'inervalle [0;1] est [tex]C^{\infty}[/tex]
[tex]u(0)=1\\\\u(1)=e\\\\du=e^xdx, dx =\dfrac{du}{u}[/tex]
Nous pouvons effectuer le changement de variable
[tex]u=e^x[/tex] dans l'integrale
[tex]\displaystyle \int_0^1 \dfrac{dx}{e^x+e^{-x}}=\int_1^e \dfrac{du}{u(u+\dfrac1{u})}} \\\\=\int_1^e \dfrac{du}{(1+u^2)}} \\\\=\arctan(e)-\arctan(1)\\\\=\arctan(e)-\dfrac{\pi}{4}[/tex]
b)
soit x réel, avec la formule du binome de Newton, nous avons
[tex]ch^2(3x)=\dfrac{e^{6x}+2+e^{-6x}}{4}\\\\=\dfrac{2ch(6x)+2}{4}\\\\=\dfrac{ch(6x)+1}{2}[/tex]
Ainsi, commme sh(0)=0
[tex]\displaystyle \int_0^{\dfrac1{3}} ch^2(3x)dx = \dfrac{1}{2*6}*sh(6*\dfrac1{3})+\dfrac1{2}*\dfrac1{3}\\\\=\dfrac{sh(2)+2}{12}[/tex]
Merci
