Réponse : AD = [tex]\sqrt{6}[/tex] et Aire = [tex]\sqrt{15}[/tex]
Explications étape par étape :
(AD) est la médiane de ABC donc par le théorème de la médiane :
AB² + AC² = 2 x AD² + 0,5 x BC²
4 + 16 = 2 x AD² + 0,5 x 16
20 = 2 x AD² + 8
AD² = 6 donc
AD = [tex]\sqrt{6}[/tex]
ABD est isocèle en B donc la perpendiculaire issue de B passe au milieu I de [AD] :
AIB est un triangle rectangle en I donc l'aire est la moitié de ABD avec :
AI = [tex]\sqrt{6} : 2 = \sqrt{1,5}[/tex]
Calcul de BI : AIB rectangle en I, par le théorème de Pythagore :
AB² = AI² + IB² donc : 4 = 1,5 + IB² donc : IB² = 2,5 donc : IB = [tex]\sqrt{2,5}[/tex]
Aire de AIB = [tex]\sqrt{1,5}[/tex] x [tex]\sqrt{2,5}[/tex] : 2 = [tex]\frac{\sqrt{3,75} }{2}[/tex]
Aire de ADB = 2 x Aire AIB = [tex]\sqrt{3,75}[/tex]
(AD) est une médiane, elle coupe donc un triangle en deux triangles de même surface :
Aire ABC = 2 x [tex]\sqrt{3,75}[/tex] = [tex]\sqrt{15}[/tex]
