Bonjour,
1)a)
[tex]|z_a|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \\z_a=2\sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}i \right)=2\sqrt{2}e^{i\dfrac{\pi}{4}}[/tex]
[tex]|z_B|=1\\\\z_B=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}[/tex]
[tex]z_M=z_A*z_B=2\sqrt{2}e^{i\dfrac{\pi}{4}} * e^{-i\dfrac{\pi}{3}}\\\\=2\sqrt{2}e^{i\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}\right)}\\\\=2\sqrt{2}e^{-i\dfrac{\pi}{12}}[/tex]
ce qui s'écrit aussi
[tex]z_M=2\sqrt{2}*\left(\cos(-\dfrac{\pi}{12})+i \sin(-\dfrac{\pi}{12})\right)[/tex]
b) voir figure en piece jointe.
c) Déja nous avons
[tex]OA=|z_A|=|z_M|=OM[/tex]
Ensuite l'angle MOA est de mesure
[tex]arg(z_A)-arg(z_M) = \dfrac{\pi}{4}-(-\dfrac{\pi}{12})\\ \\=\dfrac{3+1}{12}\pi\\\\=\dfrac{\pi}{3}[/tex]
Il s'agit donc d'un triangle isocèle qui a un angle de 60 degre.
Si un triangle possède un angle qui mesure 60° et que deux de ses côtés sont égaux, alors ce triangle sera équilatéral.
Pour construire le point M nous savons qu il est sur le cercle de centre O et passant par A et sur le cercle de centre A et passant par O, car OA=OM=AM.
2)a) Effectuons la multiplication
[tex]z_M=(2+2i)(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i)\\\\=(1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})i[/tex]
b)
Et c'est égal à
[tex]z_M=2\sqrt{2}*\left(\cos(-\dfrac{\pi}{12})+i \sin(-\dfrac{\pi}{12})\right)\\[/tex]
De ce fait
[tex]2\sqrt{2}*\cos(-\dfrac{\pi}{12})=1+\sqrt{3}\\\\\2\sqrt{2}*sin(-\dfrac{\pi}{12}) = 1-\sqrt{3}[/tex]
Ce qui donne
[tex]\cos(-\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\\\=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{2}}{2*2}\\ \\ =\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\\ \\\sin(-\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\\\=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{2}}{2*2}\\ \\ =\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}[/tex]
Ce n'est pas demandé mais nous savons que
[tex]\cos(-\dfrac{\pi}{12})=\cos(\dfrac{\pi}{12})\\ \\\sin(-\dfrac{\pi}{12})=-\sin(\dfrac{\pi}{12})[/tex]
donc
[tex]\boxed{\cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} }\\ \\\ \boxed{sin(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}[/tex]
Merci
