Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir, ta fonction est particulière, car elle est constituée d'un quotient, de 2 fonctions différentes. Il existe une technique (difficile d'y penser puisqu'en cours, on ne l'apprend pas forcément), lorsqu'on est confronté à des quotients comme celui-là : Factoriser par le terme dominant, que ce soit au numérateur, et au dénominateur.
Il te faudra donc factoriser par l'exponentielle de chaque côté :
[tex]g(x) = \frac{e^x+1}{e^x-1} = \frac{e^x(1+\frac{1}{e^x}) }{e^x(1-\frac{1}{e^x}) }[/tex]
Je te l'accorde, factoriser de cette façon peut sembler abscons, mais ça permet de débloquer bon nombre de situations. En développant, tu retomberas sur ta fonction g.
Ensuite, tu peux diviser par exp(x). On peut le justifier, car pour tout x réel, la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Il en résultera :
[tex]g(x) = \frac{1+\frac{1}{e^x} }{1-\frac{1}{e^x} }[/tex]
Tu peux le constater, la forme indéterminée ne l'est plus, tout coule de source, par quotient de limites :
[tex]\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{1}{e^x} }{1-\frac{1}{e^x} } = \frac{1+0}{1-0} = 1[/tex]
Conserve cette astuce dans un coin de ta tête, elle te sauvera bon nombre de fois. L'affirmation est donc fausse, g admet une asymptote d'équation y = 1 en + infini, et non -1.
