Bonsoir,
J'ai pas tout compris avec les noms, je considère que Lou = Léa et Noah = Nicolas. (il faut se faire manger le doigt pour gagner??)
Pour [tex]k=1[/tex] (Une seule manche):
[tex]L_1[/tex] est "Lou gagne la première partie", on calcule donc la probabilité de gagner une partie en ayant commencé notée [tex]P(A)[/tex].
Il y a 4 possibilités, Lou peut gagner au 1,3,5,7eme coup.
Notons [tex]B_i[/tex] "Lou gagne au i-eme coup"
On a alors [tex]A=B_{1} \cup B_{3} \cup B_{5} \cup B_{7}[/tex]
Puisque que les évènements sont incompatibles [tex]P(A)=P(B_1)+P(B_3)+P(B_5)+P(B_7)[/tex].
On peut calculer ces probabilités comme expliqué dessous:
[tex]\begin{cases}P( B_{1}) =\frac{1}{7}\\P( B_{3}) =\frac{6}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{5}\\P( B_{5}) =\underbrace{\frac{6}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{4}}_{Perdre\ les\ 4\ premiers\ coups} \times \underbrace{\frac{1}{3}}_{Gagner\ le\ 5eme}\\P( B_{7}) =\frac{6}{7} \times \frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 1\end{cases}[/tex]
Il faut alors faire le calcul et tu connaîtras [tex]P(A)[/tex].
Soit k supérieur à 2:
On peut interpréter [tex]L_k[/tex] comme "Lou perd les k-1 parties et gagne la k ème" donc en notant [tex]A_i[/tex] "Lou gagne la i-ème partie" on a
[tex]L_k=\bigcap _{i=1}^{k-1}\overline{A_{i}}\bigcap A_{k}[/tex]
Chaque partie est indépendante donc les [tex]A_i[/tex] sont indépendants donc les [tex]\overline{A_{i}}[/tex] et [tex]A_k[/tex] le sont aussi.
Ainsi
[tex]\begin{aligned}P( L_k) & =P( A_{k})\prod _{i=1}^{k-1} P\left(\overline{A_{i}}\right)\\ & =P( A_{}) P\left(\overline{A_{}}\right)^{k-1}\\ & =P( A_{})( 1-P( A_{}))^{k-1\end{aligned}[/tex]
(A la deuxième égalité j'utilise que les probabilités de gagner les i-ème parties sont les mêmes que de gagner une seule partie)
J'espère ne pas avoir fait de faute, dis moi s'il y a des trucs que tu comprends pas.
(L'exo est bien énervé quand même)